home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Multimedia Differential Equations / Multimedia Differential Equations.ISO / diff / chapter7.1p < prev    next >
Text File  |  1996-08-13  |  11KB  |  453 lines
  1. à 7.1èReview ç Power Series
  2.  
  3. äèFïd ê ïterval ç convergence for ê power series.
  4.  
  5. âè For ▄èèèèèèèèèèèèèè▒x-2▒ⁿóî
  6.     èèèΣè(x-2)ⁿèê ratio isèlim ───────── 
  7.     èè n=0èèèèèèèèèèè n¥∞è▒x-2▒ⁿ
  8.     = lim ▒x-2▒ = ▒x-2▒ < 1 for absolute convergence.
  9.     èn¥∞èè -1 < x-2 < 1 or 1 < x < 3.èCheckïg ê endpoïts
  10.     x = 1 gives 1 - 1 + 1 which diverges, x = 3 gives 1 + 1 + 1
  11.     which diverges.èThus (1,3) is ê ïterval ç convergence.
  12.  
  13. éS    èèBy defïition, a POWER SERIES ABOUT x = x╙ is an ïfïite
  14.     series ç ê form
  15.     èèè ∞
  16.     èèè Σ a┬(x-x╙)ⁿ = a╙ + a¬x + a½xì + a¼xÄ + a«xÅ + ∙∙∙
  17.     èèèn=0
  18.  
  19.     èèFor example
  20.          ∞
  21.          Σ (-2)ⁿ(x-2)ⁿ = 1 - 2(x-2) + 4(x-2)ì - 8(x-2)Ä + ∙∙∙
  22.         n=0
  23.     is a power series about x = 2.
  24.  
  25.     èèèè ∞è xⁿèèèèèèèxìè xÄè xÅ
  26.     èèèè Σè────è=è1 + x + ── + ── + ── + ∙∙∙
  27.     èèèèn=0èn!èèèèèèè 2èè6è 24
  28.     is a power series about x = 0
  29.  
  30.     èèè∞è ┌èx+3è┐nèèèèx+3è (x+3)ìè (x+3)Ä
  31.     èèèΣè ▒è───è▒è = 1 + ─── + ────── + ────── + ∙∙∙
  32.     èè n=0è└è 4è ┘èèèèè4èèè16èèè 64
  33.  
  34.     is a power series about x = -3
  35.     èèèèèèèèèè∞
  36.     èèA power seriesèΣèa┬(x-x╙)ⁿ is said ë CONVERGE AT x if
  37.     èèèèèèèèè n=0
  38.     èèèèèèèm
  39.     èèèèlimè Σèa┬(x-x╙)ⁿ exist å is fïite.è
  40.     èèèèm¥∞èn=0
  41.     If ê series does not converge at x╙, it is said ë DIVERGE
  42.     at x╙.
  43.  
  44.     èèA stronger condition is ê series CONVERGES ABSOLUTELY
  45.     AT x╙ if
  46.     èèèèèèèm
  47.     èèèèlimè Σè▒a┬(x-x╙)ⁿ▒èexists å is fïite.
  48.     èèèèèè m¥∞èn=0
  49.  
  50.     èèThe non-negative value R for which ê power series 
  51.     converges absolutely is ê RADIUS OF CONVERGENCE.èAlternately
  52.     this ïformation can be given as an INTERVAL OF CONVERGENCE
  53.     byèconvertïgè▒x-x╙▒ < R ëèx╙ - R < x < x╙ + R.èThe 
  54.     ENDPOINTS x = -R å å x = R must be checked ïdivually ë
  55.     see if êy converge or not.
  56.  
  57.     è The best way ë determïe ê radius ç convergence is ë
  58.     use ê RATIO TEST.èLet ê ratio R be 
  59.     èèèèèèèè ▒ a┬╟¬(x-x╙)ⁿóî ▒èèèè ▒ a┬╟¬ ▒
  60.     èèèèR = limè▒───────────────▒è=èlim ▒──────▒ ▒x-x╙▒
  61.     èèèèèèn¥∞è▒è a┬(x-x╙)ⁿè ▒èè n¥∞ ▒èa┬è▒ 
  62.     Ifèèè▒è< 1è ê series absolutely converges
  63.     èèR = ▒è> 1è ê series diverges
  64.     èèèè▒è= 1è anoêr test for convergence must be used
  65.  1
  66. èèèèèèèèèèèèè∞è┌èxè┐n
  67. èèèèèèèèèèèèèΣè▒ ─── ▒
  68. èèèèèèèèèèèè n=0 └è2è┘
  69.  
  70.     A)    x = 0            B)    (-1/2, 1/2)
  71.     C)    (-2,2)            D)    all real numbers
  72.  
  73. ü    Usïg ê ratio test
  74.     èèèè ▒ (x/2)ⁿóî │è    èèè│ x │
  75.     R = limè▒──────────│è=èlim ▒───│è
  76.     èèn¥∞è▒è(x/2)ⁿè▒èè n¥∞ │ 2 │
  77.  
  78.     R = │x/2│ < 1èorè-1 < x/2 < 1èorè-2 < x < 2
  79.     
  80.     At x = -2, ê series isè1 - 1 + 1 - ∙∙∙ which diverges.
  81.     At x = 2, ê series isè1 + 1 + 1 + ∙∙∙ which diverges.
  82.  
  83.     Thus ê ïterval ç convergence isè(-2, 2)
  84.  
  85. Ç C
  86.  
  87.  2èèèè∞è
  88.     èèèè Σèn! xⁿèèèèn! = n(n-1)(n-2)...3(2)(1)
  89.     èèèèn=0 
  90.  
  91.     A)    x = 0            B)    (-1, 1)
  92.     C)    [-1,1]            D)    all real numbers
  93.  
  94. ü    Usïg ê ratio test
  95.     èèèè ▒ (n+1)! xⁿóî │è     
  96.     R = limè▒─────────────│è=èlim ▒(n+1)x│è= ▒x▒ lim n+1 = ∞
  97.     èèn¥∞è▒èèn! xⁿèè▒èè n¥∞èèèèèèèè n¥∞
  98.     As R = ∞, ê series only converges for x = 0 where it 
  99.     consists ç ê sïgle termè1
  100.  
  101. Ç A
  102.  
  103.  3èèèè∞è┌ x-3 ┐n
  104. èèèèèèèè Σè▒ ─── ▒
  105. èèèèèèèèn=0 └èn! ┘
  106.  
  107.     A)    x = 3            B)    (2, 4)
  108.     C)    [0,6]            D)    all real numbers
  109.  
  110. ü    Usïg ê ratio test
  111.  
  112.     èèèè ▒ (x-3)ⁿóî/(n+1)! │è    èè │ x-3 │
  113.     R = limè▒─────────────────│è=èlim ▒ ─── │ 
  114.     èèn¥∞è▒è (x-3)ⁿ / n!è ▒èè n¥∞ │ n+1 │èèèè
  115.     èèèèèèèè 1
  116.     R = │x-3│ limè─────è= 0
  117.     èèèèèn¥∞è▒n+1▒
  118.  
  119.     As R = 0 is always less than 1, this series converges for all
  120.     real numbers.
  121.     
  122. Ç D
  123.  
  124.  4èèèè∞èèèèè(x+2)ⁿ 
  125.     èèèè Σè(-1)ⁿóî ────── 
  126.     èèèèn=0èèèèè 3ⁿ
  127.  
  128.     A)    x = -2            B)    (-4,0)
  129.     C)    (-5,1)            D)    all real numbers
  130.  
  131. ü    Usïg ê ratio test
  132.     èèèè ▒ [(x+2)/3]ⁿóî │èèèè │ x+2 │èè ▒ x+2 ▒
  133.     R = limè▒──────────────│è=èlim ▒ ─── │è=è▒ ─── ▒ 
  134.     èèn¥∞è▒è[(x+2)/3]ⁿè▒èè n¥∞ │è3è│èè ▒è3è▒
  135.  
  136.     R = │(x+2)/3│ < 1èorè-1 < (x+2)/3 < 1èorè-3 < x + 2 < 3,
  137.     
  138.     è=è-5 < x < 1
  139.     
  140.     At x = -5, ê series isè1 + 1 + 1 - ∙∙∙ which diverges.
  141.     At x = 1, ê series isè1 - 1 + 1 + ∙∙∙ which diverges.
  142.  
  143.     Thus ê ïterval ç convergence isè(-5,1)
  144.  
  145. ÇèC
  146.  
  147. äèèGive ê first 3 non-zero terms ç ê derivative ç
  148. èèèèèèèèê function given as a power series.
  149.  
  150. â     For 
  151.     èèèè ∞è ┌èx+3è┐n    èèè x+3è (x+3)ìè (x+3)Ä
  152.      f(x) =     Σè ▒è───è▒è = 1 + ─── + ────── + ────── + ∙∙∙
  153.     èèèèn=0è└è 4è ┘    èèèè4èèè16èèè 64
  154.     èèèè 1è x+3è 3(x+3)ì
  155.     f»(x) =è─ + ─── + ─────── + ∙∙∙
  156.     èèèè 4èè8èèè 64
  157. éSèè Given two absolutely convergent series about x = x╙
  158.     èèèèèèè ∞èèèèèèèèèèèè∞
  159.     èèèèf(x) = Σèa┬(x-x╠)ⁿ åèg(x) = Σèb┬(x-x╠)ⁿ
  160.     èèèèèèèn=0èèèèèèèèèèèn=0
  161.     å let R be ê smaller ç êir radii ç convergence.èThen 
  162.     for allè▒x-x╠▒ < R, ê followïg are absolutely convergent.
  163.                 èè∞
  164.     èèèèf(x) + g(x)èèèè Σè[ a┬ + b┬ ] xⁿ
  165.     èèèèèèèèèèèèè n=0 
  166.     èèèèèèèèèèèèèè∞
  167.     èèèèf(x) - g(x)èèèè Σè[ a┬ - b┬ ] xⁿ
  168.     èèèèèèèèèèèèè n=0 
  169.     èèèèf(x)g(x)    Multiply term-by-term
  170.  
  171.     èèèè f(x)
  172.     èèèè──────        Except where g(x) = 0
  173.     èèèè g(x)
  174.  
  175.     èèAn absolutely convergent series can be DIFFERENTIATED
  176.     TERM-BY-TERM withï ê radius ç convergence ë produce
  177.     absolutely convergent series for ê derivatives
  178.     èèè ∞
  179.     f(x) = Σèa┬xⁿè=èa╙ + a¬x + a½xì + a¼xÄ + a«xÅ + ∙∙∙
  180.     èèèn=0
  181.     èèèè∞
  182.     f»(x) = Σèna┬xⁿúîè=è a¬ + 2a½x + 3a¼xì + 4a«xÄ + ∙∙∙
  183.     èèè n=1
  184.     èèèè ∞
  185.     f»»(x) = Σèn(n-1)a┬xⁿúì =è 2a½ + 6a¼x + 12a«xì + ∙∙∙
  186.     èèèèn=0
  187.     For an power series about x╙ replace x with (x-x╙) on ê
  188.     right hå side.
  189.  
  190.  5èèèèèè ∞èíèxè┐
  191. èèèèèèè f(x) = Σè▒ ─── ▒
  192. èèèèèèèèèè n=1 └è2è┘
  193.     A)    3/2è+è1/2 xè+è3/8 xì
  194.     B)    1/2è+è1/2 xè+è3/8 xì
  195.     C)    xè+è1/4 xìè+è1/12 xÄ
  196.     D)    1/4 xìè+è1/12 xÄè+è1/32 xÅ
  197.  
  198. ü     For 
  199.     èèèè ∞è ┌è xè┐n    èèè xèè xìèè xÄ
  200.      f(x) =     Σè ▒è─── ▒è = 1 + ─── + ──── + ──── + ∙∙∙
  201.     èèèèn=0è└è 2è┘    èèè 2èèè4    èè 8
  202.     èèèè 1èèxèè 3xì
  203.     f»(x) =è─ + ─── + ───── + ∙∙∙
  204.     èèèè 2èè2èèè8
  205.  
  206. Ç B
  207.  
  208.  6èèèèèèè∞
  209.     èèèèg(x) = Σè(-1)ⁿ(x-2)ⁿ
  210.     èèèèèèèn=0
  211.     A)    2(x-2) - 3(x-2)ì + 4(x-2)Ä
  212.     B)    -1 + 2(x-2) - 3(x-2)ì
  213.     C)    x -2è- (x-2)ì/2 + (x-2)Ä/3
  214.     D)    -(x-2)ì/2 + (x-2)Ä/3 - (x-2)Å/4
  215.  
  216. ü     For 
  217.     èèèè ∞è 
  218.      f(x) =     Σè(-1)ⁿ(x-2)ⁿè=è1 - (x-2) + (x-2)ì - (x-2)Ä + ∙∙∙
  219.     èèèèn=0è
  220.         
  221.     f»(x) =è-1 + 2(x-2) - 3(x-2)ì + ∙∙∙
  222.         
  223. Ç B
  224.  
  225. äè Calculate ê first 3 non-zero terms ç ê Taylor
  226. èèèèèèè series for ê function about ê given poït.
  227.  
  228. â    èèForèf(x) = eì╣ about x = 0
  229.     nèèèèèèè 0èèè 1èèè 2èèè3èèè 4
  230.     fⁿ(x)èèèèèeì╣èè2eì╣èè4eì╣èè8eì╣è 16eì╣
  231.     fⁿ(0)èèèèè 1èèè 2èèè4èèè 8èèè 16
  232.     a┬=fⁿ(0)/n!èè 1èèè 2èèè2èèè4/3èèè2/3
  233.     The Taylor seriesèisè1 + 2x + 2 xì + 4/3 xÄ + 2/3 xÅ
  234.  
  235. éS    èè If ê function f that is beïg represented by a power 
  236.     series is known one can substitute x = x╠ ïë ê above 
  237.     expressions for ê derivatives å solve for ê coefficients
  238.     a┬.
  239.         a╙ = f(x)╙
  240.         a¬ = f»(x╙)
  241.         a½ = f»»(x╙)/2 = f»»(x╙)/2!
  242.         a¼ = f»»»(x╙)/6 = f»»»(x╠)/3!
  243.     In general
  244.         a┬ = fⁿ(x╙)/n!
  245.  
  246.     The series produced by this technique is called a TAYLOR
  247.     SERIES ABOUT x╠.èIf x╠ = 0, ên it is a MACLAURIN SERIES.
  248.     
  249.     èèA poït x╠ about which a function may be expåed ï a
  250.     Taylor series is said ë be ANALYTIC at that poït.
  251.  
  252.     èèTo compute ê MacLaurï Series ç sï[x] 
  253.  
  254.     nèèèèèèè 0èèè 1èèèè2èèè 3èèè 4èèè 5
  255.  
  256.     fⁿ(x)    èè sï[x]è cos[x]è-sï[x] -cos[x]èsï[x]ècos[x]
  257.  
  258.     fⁿ(0)èèèèè 0èèè 1èèèè0èèè-1èèè 0èèè 1
  259.  
  260.     a┬ = fⁿ(0)/n!è 0èèè 1èèèè0èèè-1/6     0èè 1/120
  261.     
  262.     Thus ê MacLaurï series is
  263.  
  264.         xè-è1/6 xÄè+è1/120 xÉè- ∙∙∙
  265.  
  266.  7    f(x) = eú╣èabout x = 0
  267.  
  268.     A)    1 + x + xì + xÄ
  269.     B)    1 - x + xì - xÄ
  270.     C)    1 + x + 1/2 xì + 1/6 xÄ
  271.     D)    1 - x + 1/2 xì - 1/6 xÄ
  272.  
  273. üèèTo compute ê MacLaurï Series ç eú╣
  274.  
  275.     nèèèèèèè 0èèè 1èèè 2èèèè3
  276.  
  277.     fⁿ(x)èèèèèeú╣èè-eú╣èè eú╣èè -eú╣
  278.  
  279.     fⁿ(0)èèèèè 1èèè-1èèè 1èèè -1
  280.  
  281.     a┬ = fⁿ(0)/n!è 1èèè-1èèè1/2èè -1/6    
  282.     
  283.     Thus ê MacLaurï series is
  284.  
  285.         1 - xè+è1/2 xìè-è1/6 xÄè+è∙∙∙
  286.  
  287. ÇèD
  288.  
  289.     8    f(x) = ln[x]èabout x = 1
  290.  
  291.     A)    1 - x + 2xì - 6xÄ
  292.     B)    1 - (x-1) + 2(x-1)ì - 6(x-1)Ä
  293.     C)    (x-1) - (x-1)ì + (x-1)Ä
  294.     D)    (x-1) - 1/2 (x-1)ìè+è1/3 (x-1)Ä
  295.  
  296. üèèTo compute ê Taylor Series ç ln[x] about x = 1
  297.  
  298.     nèèèèèèèè0èèè1èèè2èèèè3
  299.  
  300.     fⁿ(x)èèèèèln[x]è xúîèè-xúìèè 2xúÄ
  301.  
  302.     fⁿ(1)èèèèè 0èèè 1èèè-1èèè 2
  303.  
  304.     a┬ = fⁿ(1)/n!è 0èèè 1èè -1/2èèè1/3    
  305.     
  306.     Thus ê Taylor series about x = 1 is
  307.  
  308.         (x-1)è -è1/2 (x-1)ìè+è1/3 (x-1)Äè-è∙∙∙
  309.  
  310. ÇèD
  311.  
  312.  9    f(x) = cos[x] about x = π/2
  313.  
  314.     A)    1 - 1/2 (x-π/2)ìè+è1/24 (x-π/2)Å
  315.     B)    -1 + 1/2 (x-π/2)ìè-è1/24 (x-π/2)Å
  316.     C)    (x-π/2) - 1/6 (x-π/2)Äè+è1/120 (x-π/2)É
  317.     D)    -(x-π/2) + 1/6 (x-π/2)Äè-è1/120 (x-π/2)É
  318.  
  319. üèèTo compute ê Taylor Series ç cos[x] about x = π/2
  320.  
  321.     nèèèèèèèè 0èèè1èèè 2èèè3èèè 4èèè 5
  322.  
  323.     fⁿ(x)    èèè cos[x] -sï[x] -cos[x] sï[x]ècos[x] -sï[x]
  324.  
  325.     fⁿ(π/2)èèèèè 0èèè-1èèè0èèè1èèè 0èèè -1
  326.  
  327.     a┬ = fⁿ(π/2)/n!è 0èèè-1èèè0èè 1/6èèè0èè -1/120
  328.     
  329.     Thus ê Taylor series about x = π/2 is
  330.  
  331.         -(x-π/2)è +è1/6 (x-π/2)Äè-è1/120 (x-π/2)Éè-è∙∙∙
  332.  
  333. ÇèD
  334.  
  335. äèChange ê ïdex ç summation so that ê power ç
  336. èèèèèèè(x-x╠) is n.
  337.  
  338. â    èèèè▄
  339.     èèèèΣèna┬xⁿúîè Let u = n - 1èso n = u + 1
  340.     èèè n=1
  341.     Thenèè ▄èèèèèèèèèèèèè ∞
  342.          Σè(u+1)a═╟¬x╗èLet n = uè Σè(n+1)a┬╟¬xⁿ
  343.     èèèèu=0èèèèèèèèèèèè n=0
  344.  
  345. éS    èè The techniques for this chapter require facility with
  346.     changïg ïdices on summation so that all series have ê 
  347.     same power ç n as ê exponent çè(x-x╠).
  348.  
  349.     èè Such changes are most easily done by pickïg a new 
  350.     variable for ê summation ïdex, get an equation relatïg
  351.     ê new variable ë ê old variable, use this equation
  352.     ë change everythïg ë ê new variable å ên rename ê
  353.     new variable ë ê old.
  354.     èèèèèèèèè▄
  355.     èè To convertè Σèa┬xⁿèso ê series starts at zero,
  356.     èèèèèèèè n=2
  357.     pick u = n - 2 i.e. if n = 2, ên u = 0.èThis equation can
  358.     be rearranged ë get n ï terms ç u orèn = u + 2.
  359.     The summation becomes, ï terms ç u
  360.     èèèè∞
  361.     èèèèΣèa═╟½ x╗óì
  362.     èèè u=0
  363.     Now replace u by n 
  364.     èèèè∞
  365.     èèèèΣèa┬╟½ xⁿóì
  366.     èèè n=0
  367.  
  368.  10èèè▄
  369.     èèèèΣèa┬(x+2)ⁿóî
  370.     èèè n=0
  371. A)èèèèèèè B)èèèèèèèC)èèèèèèè D)
  372. è∞        è ∞èèèèèèè ▄èèèèèèèè▄
  373. èΣèa┬▀¬(x+1)ⁿèèΣèa┬▀¬(x+2)ⁿè Σ a┬▀¬(x+2)ⁿúîè Σ a┬╟¬(x+2)ⁿ
  374.  n=1    èèèèèn=1    èèèèèn=0èèèèèèèn=0
  375.             èèè         
  376.  
  377. ü        As it is required that ê exponent ç (x+2) be n,
  378.     letèu = n+1èi.e.èn = u-1 .
  379.     
  380.     èèNow replace each occurence ç n by u-1
  381.     èèèè∞
  382.     èèèèΣèa═▀¬ (x+2)╗
  383.     èèè u=1
  384.     
  385.     èèNow substitute n for u everywhere
  386.     èèèè∞
  387.     èèèèΣèa┬▀¬ (x+2)ⁿ
  388.     èèè n=1
  389.  
  390. ÇèB
  391.  
  392.  11èèè∞
  393.     èèèèΣèna┬xⁿúî
  394.     èèè n=1
  395. A)èèèèèèèB)èèèèèèèC)èèèèèèèèD)    
  396. è∞èèèèèèè ∞èèèèèèè ▄èèèèèèèè ▄
  397. èΣ (n+1)a┬╟¬xⁿ Σ (n-1)a┬▀¬xⁿè Σ (n+1)a┬╟¬xⁿóîè Σ a┬▀½xⁿúì
  398.  n=0èèèèèè n=1èèèèèè n=1èèèèèèè n=2
  399.  
  400. ü        As it is required that ê exponent ç x be n,
  401.     letèu = n-1èi.e.èn = u+1 .
  402.     
  403.     èèNow replace each occurence ç n by u+1
  404.     èèèè∞
  405.     èèèèΣè(u+1)a═╟¬ x╗
  406.     èèè u=0
  407.     
  408.     èèNow substitute n for u everywhere
  409.     èèèè∞
  410.     èèèèΣè(n+1)a┬╟¬ xⁿ
  411.     èèè n=0
  412.  
  413. ÇèA
  414.  
  415.  12èèè∞
  416.     èèèèΣèn(n-1)a┬xⁿú²
  417.     èèè n=2
  418. A)    èèèèèèè B)èèèèèèèèC)
  419. è∞èèèèèèèèèèè∞èèèèèèèè ▄
  420. èΣè(n+2)(n+1)a┬╟½xⁿèèΣ (n+1)na┬╟¬xⁿèèΣ (n+2)(n+1)a┬╟½xⁿ
  421.  n=2èèèèèèèèèèn=1èèèèèèè n=0è 
  422.             èèè 
  423. ü        As it is required that ê exponent ç x be n,
  424.     letèu = n-2èi.e.èn = u+2 .
  425.     
  426.     èèNow replace each occurence ç n by u+2
  427.     èèèè∞
  428.     èèèèΣè(u+2)(u+1)a═╟½ x╗
  429.     èèè u=0
  430.     
  431.     èèNow substitute n for u everywhere
  432.     èèèè∞
  433.     èèèèΣè(n+2)(n+1)a┬╟½ xⁿ
  434.     èèè n=0
  435.  
  436. ÇèC
  437.  
  438.  
  439.  
  440.  
  441.  
  442.  
  443.  
  444.  
  445.  
  446.  
  447.  
  448.  
  449.  
  450.  
  451.  
  452.  
  453.